*Pengertian Himpunan Bagian*

*Pengertian Himpunan Bagian*

Agar kalian dapat memahami mengenai himpunan bagian, perhatikan himpunan-himpunan berikut.

A = {1, 2, 3}

B = {4, 5, 6}

C = {1, 2, 3, 4, 6}

Berdasarkan ketiga himpunan di atas, tampak bahwa setiap anggota himpunan A, yaitu 1, 2, 3 juga menjadi anggota himpunan C. Dalam hal ini dikatakan bahwa himpunan A merupakan himpunan bagian dari C, ditulis A C atau CA. Jadi himpunan X merupakan himpunan bagian Z, jika setiap anggota X juga menjadi anggota Z dan dinotasikan X  Z atau Z  X.

Sekarang perhatikan himpunan B dan himpunan C.

B = {4, 5, 6}

C = {1, 2, 3, 4, 5}

Tampak bahwa tidak setiap anggota B menjadi anggota C, karena 6  C. Dikatakan bahwa B bukan merupakan himpunan bagian dari C, ditulis BC. (BC dibaca: B bukan himpunan bagian dari C). Jadi, himpunan X bukan merupakan himpunan bagian Z, jika terdapat anggota X yang bukan anggota Z, dan dinotasikan XZ.

Untuk memahami himpunan bagian, perhatikanlah himpunan berikut ini.

S = {semua siswa kelas VII di sekolahmu}

A = {semua siswa kelas VIIA di kelasmu}

B = {semua siswa perempuan VIIA di kelasmu}

C = {semua siswa laki-laki VIIA di kelasmu}

Dari contoh di atas diperoleh keterangan sebagai berikut:

1. Himpunan B dan C merupakan himpunan bagian dari himpunan A karena setiap anggota himpunan B dan C merupakan anggota himpunan A.
2. Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan S karena setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan S.
3. Himpunan B bukan merupakan himpunan bagian dari himpuna C begitu juga sebaliknya, karena tidak ada anggota himpunan B yang merupakan anggota himpunan C dan sebaliknya.

Tips perlu di ingat. Perhatikan perbedaan pernyataan berikut.

Diketahui

S = {1, 2, 3, ..., 10}

A = {1, 3, 5, 7, 9}

3 є A (benar)

{3} є A (salah)

{1, 3, 5, 7, 9} = AS (benar)

{1, 3, 5, 7, 9} = A є S (salah)

Contoh Soal Penerapan Himpunan Dalam Kehidupan Sehari-Hari

Contoh Soal Penerapan Himpunan Dalam Kehidupan Sehari-Hari

Contoh Soal 1

Dalam suatu kelas terdapat 48 siswa. Mereka memilih dua jenis olahraga yang mereka gemari. Ternyata 29 siswa gemar bermain basket, 27 siswa gemar bermain voli, dan 6 siswa tidak menggemari kedua olahraga tersebut.

1. Gambarlah diagram Venn dari keterangan tersebut.
2. Tentukan banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli.

Penyelesaiannya:

Gambar diagram Venn dari keterangan tersebut dapat diperoleh jika banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli diketahui, maka cari terlebih dahulu banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli:

bermain basket dan voli = (29 + 27) – (48–6)

bermain basket dan voli = 14 orang

1. Gambar diagram Venn dari keterangan tersebut adalah
   
   
   
   
2. banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli ada 14 orang

Contoh Soal 2

Dari 50 siswa di suatu kelas, diketahui 25 siswa gemar matematika, 20 siswa gemar fisika, dan 7 siswa gemar kedua-duanya. Tentukan banyaknya siswa yang tidak gemar matematika dan fisika.

Penyelesaiannya:

Jadi banyaknya siswa yang tidak gemar matematika dan fisika ada 12 siswa

Contoh Soal 3

Pada sebuah kelas yang terdiri atas 46 siswa dilakukan pendataan pilihan ekstrakurikuler. Hasil sementara diperoleh 19 siswa memilih KIR, 23 siswa memilih PMR, dan 16 siswa belum menentukan pilihan. Tentukan banyaknya siswa yang hanya memilih PMR saja dan KIR saja.

Penyelesaiannya:

siswa yang memilih PMR dan KIR adalah:

= (19 + 23) – (46 – 16)

= 12

Jadi banyaknya siswa yang hanya memilih PMR saja ada 11 siswa dan KIR saja ada 7 siswa

Contoh Soal 4

Suatu kompleks perumahan mempunyai 43 orang warga, 35 orang di antaranya aktif mengikuti kegiatan olahraga, sedangkan sisanya tidak mengikuti kegiatan apa pun. Kegiatan bola voli diikuti 15 orang, tenis diikuti 19 orang, dan catur diikuti 25 orang. Warga yang mengikuti bola voli dan catur sebanyak 12 orang, bola voli dan tenis 7 orang, sedangkan tenis dan catur 9 orang. Tentukan banyaknya warga yang mengikuti ketiga kegiatan olahraga tersebut.

Penyelesaian:

misalkan yang mengikuti ketiga kegiatan olahraga tersebut adalah x maka yang ikut:

voli dan tenis saja = 7-x

tenis dan catur saja = 9-x

voli dan catur saja = 12-x

voli saja = 15 –(12-x)-(7-x)-x = -4+x

tenis saja = 19 –(9-x)-(7-x)-x = 3+x

catur saja saja = 25 –(9-x)-(12-x)-x = 4+x

maka diagram vennya menjadi:

dari diagram venn di atas yang mengikuti ketiga kegiatan olahraga tersebut adalah

=>> 35 = 7-x + 9-x + 12-x + -4+x + 3+x + 4+x +x

=>> 35 = 31 +x

=>> x = 4

jadi yang mengikuti ketiga kegiatan olahraga tersebut adalah 4 orang

Contoh Soal 5

Dari sekelompok olahragawan, terdapat 18 orang yang gemar bulu tangkis, 16 orang gemar bola basket, dan 12 orang gemar dua-duanya.

1. Gambarlah diagram Venn yang menunjukkan pernyataan di atas.
2. Tentukan jumlah olahragawan tersebut.

Penyelesaiannya:

1. Gambar diagram Venn yang menunjukkan pernyataan di atas adalah
   
   
2. jumlah olahragawan tersebut adalah 22 orang

Contoh Soal 6

Diagram Venn di bawah ini menunjukkan kesukaaan dari sekelompok siswa terhadap tiga mata pelajaran di sekolah.

1. Berapa orang yang gemar matematika saja?
2. Berapa orang yang gemar olahraga saja?
3. Berapa orang yang gemar kesenian saja?
4. Berapa orang yang gemar matematika dan olahraga?
5. Berapa orang yang gemar matematika dan kesenian?
6. Berapa orang yang gemar ketiga-tiganya?

Penyelesaiannya:

1. gemar matematika saja = 24 orang
2. gemar olahraga saja = 20 orang
3. gemar kesenian saja = 10 orang
4. gemar matematika dan olahraga =  2+15 = 17 orang
5. gemar matematika dan kesenian = 4+15 = 19 orang
6. gemar ketiga-tiganya = 15 orang

Contoh Soal 7

Siswi-siswi salah satu SMP Negeri di Jakarta mengikuti lomba memasak, dan menjahit. Yang mengikuti lomba berjumlah 30 orang. Setelah selesai dikelompokkan, 18 orang gemar memasak, 17 orang gemar menjahit dan 12 orang gemar memasak dan menjahit.

1. Tentukan pernyataan di atas dalam diagram Venn.
2. Hitung berapa siswi yang tidak gemar dua-duanya.

Penyelesaiannya:

1. Gambar diagram Venn yang menunjukkan pernyataan di atas adalah
   
   
   
   
2. jumlah siswi yang tidak gemar dua-duanya ada 9 orang

Soal latihan tentang penerapan himpunan dalam kehidupan sehari-hari

Latihan Soal 1

Di antara sekelompok warga yang terdiri atas 50 orang yang sedang berbelanja ke pasar ternyata 25 orang membeli buah apel, 23 orang membeli buah pisang, dan 8 orang membeli kedua macam buah tersebut.

1. Gambarlah diagram Venn untuk menunjukkan keadaan di atas.
2. Berapa banyak warga yang membeli buah apel atau buah pisang?
3. Berapa banyak warga yang membeli buah apel saja?
4. Berapa banyak warga yang membeli salah satu dari kedua macam buah tersebut.
5. Berapa banyak warga yang tidak membeli kedua macam buah tersebut.

Latihan Soal 2

Di antara warga kampung yang terdiri atas 60 orang, ternyata 20 orang berlangganan majalah, 35 orang berlangganan koran, dan 5 orang berlangganan keduanya.

1. Gambarlah suatu diagram Venn untuk menunjukkankeadaan di atas, dengan memisalkan M = Himpunan pelanggan majalah, dan K = Himpunan pelanggan koran.
2. Berapa banyak warga kampung yang tidak berlangganan koran atau majalah?
3. Berapa banyak warga kampung yang tidak berlangganan koran atau majalah?
4. Berapa banyak warga kampung yang tidak berlangganan koran saja?
5. Berapa banyak warga kampung yang tidak berlangganan majalah saja?
6. Berapa banyak warga kampung yang berlangganan koran tetapi tidak berlangganan majalah?

Latihan Soal 3

Di antara sekelompok siswa yang terdiri atas 50 orang ternyata 20 orang suka main tenis, 33 orang suka main basket, dan 8 orang suka main keduanya.

1. Gambarlah diagram Venn untuk menunjukkan keadaan di atas.
2. Berapa banyak siswa yang tidak suka main tenis dan basket?
3. Berapa banyak siswa yang tidak suka main keduanya?
4. Berapa banyak siswa yang tidak suka main tenis saja?
5. Berapa banyak siswa yang tidak suka main basket saja?
6. Banyak siswa yang tidak suka main tenis tetapi suka basket?

Latihan Soal 4

Di antara sekelompok warga yang terdiri atas 50 orang yang sedang berbelanja ke pasar ternyata 25 orang membeli buah apel, 23 orang membeli buah pisang, dan 8 orang membeli kedua macam buah tersebut.

1. Gambarlah diagram Venn untuk menunjukkan keadaan di atas.
2. Berapa banyak warga yang tidak membeli buah apel dan buah pisang?
3. Berapa banyak warga yang tidak membeli buah apel saja?
4. Berapa banyak warga yang tidak membeli kedua macambuah tersebut?

Latihan Soal 5

Dari 40 siswa dalam suatu kelas, terdapat 30 siswa gemar pelajaran matematika dan 26 siswa gemar pelajaran fisika. Jika 2 siswa tidak gemar dengan kedua pelajaran tersebut, tentukan banyaknya siswa yang gemar pelajaran matematika dan fisika.

Latihan Soal 6

Di antara sekelompok siswa yang terdiri atas 50 orang ternyata 20 orang suka main tenis, 33 orang suka main basket, dan 8 orang suka main keduanya.

1. Gambarlah diagram Venn untuk menunjukkan keadaan di atas.
2. Berapa banyak siswa yang suka main tenis atau basket?
3. Berapa banyak siswa yang tidak suka main keduanya?
4. Berapa banyak siswa yang suka main tenis saja?
5. Berapa banyak siswa yang suka main basket saja?

Contoh Soal dan Pembahasan Hubungan Panjang Sisi Dengan Besar Sudut Pada Segitiga

Contoh Soal dan Pembahasan Hubungan Panjang Sisi Dengan Besar Sudut Pada Segitiga

Contoh soal dan pembahasan materi matematika smp kelas 7 semester 2 tentang hubungan panjang sisi dengan besar sudut pada segitiga.

Soal 1.

Diketahui sudut suatu segitiga PQR berbanding ∠ P :∠ Q : ∠ R = 9 : 5 : 4.

Tentukan

a. besar ∠P, ∠Q, dan ∠R;

b. sudut yang terbesar;

c. sudut yang terkecil;

d. sisi yang terpanjang;

e. sisi yang terpendek.

f. Jenis segitiga PQR

Jawab:

a. Untuk mencari besar ∠P, ∠Q, dan ∠R dapat dicari dengan cara berikut. Misal ∠ P : ∠ Q : ∠ R = 9x : 5x : 4x, maka

∠ P : ∠ Q : ∠ R = 180°

9x : 5x : 4x = 180°

18x = 180°

x = 10°

setelah ketemu x maka besarnya sudut:

∠ P = 9x = 9.10°= 90°

∠ Q = 5x = 5. 10° = 50°

∠ R = 4x = 4. 10° = 40°

Jadi besar ∠P, ∠Q, dan ∠R berturut-turut adalah 90°, 50° dan 40°

b. sudut yang terbesar adalah ∠ P

c. sudut yang terkecil adalah ∠ R

d. Berdasarkan sifat-sifat segitiga maka sisi yang terpanjang adalah sisi yang berhadapan dengan sudut terbesar, maka sisi yang terpanjang berada pada sisi p

e. Berdasarkan sifat-sifat segitiga maka sisi yang terpendek adalah sisi yang berhadapan dengan sudut terkecil, maka sisi yang terpendek berada pada sisi r

f. Karena salah satu sudutnya adalah 90° maka jenis segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.

Soal 2.

Perhatikan gambar di bawah ini.

Tentukan nilai w°, x°, y°, dan z°.

Jawab:

Sudut w° dengan sudut 85° merupakan sudut berpelurus, maka:

w° + 85° = 180°

w° = 180° - 85°

w° = 95°

Besar sudut x° dapat dicari dengan menggunakan konsep jumlah sudut-sudut segitiga yaitu

85° + 35° + x° = 180°

x° = 180° - 85° - 35°

x° = 60°

Sudut y° dengan sudut x° merupakan sudut berpelurus, maka:

y° + x° = 180°

y° + 60° = 180°

y° = 180° - 60°

y° = 120°

Sudut z° dengan sudut 35° merupakan sudut berpelurus, maka:

z° + 35° = 180°

y° = 180° - 35°

y° = 145°

Jadi nilai w°, x°, y°, dan z° berturut-turut adalah 95°, 60°, 120° dan 145°

Soal 3.

Perhatikan gambar di bawah ini.

Hitunglah

a. nilai x°;

b. besar ∠SPR;

c. besar ∠PRQ.

Jawab

a. ∠SPR dengan ∠QPR merupakan sudut berpelurus, maka:

3x° + x° = 180°

4x° = 180°

x° = 45°

b. besar ∠SPR = 3x° = 3. 45° = 135°

c. Besar ∠PRQ dapat dicari dengan menggunakan konsep jumlah sudut-sudut segitiga yaitu:

∠QPR  + ∠PQR + ∠PQR = 180°

x°  + 80° + ∠PQR = 180°

45°  + 80° + ∠PQR = 180°

∠PQR = 180° - 45°  - 80°

∠PQR = 65°

Soal 4.

Perhatikan gambar berikut.

Pada gambar tersebut ∠B1 = ∠B2, ∠C3 = ∠C4, ∠A = 70°, dan ∠B = 60°. Hitunglah

a. besar ∠C3 + ∠C4;

b. besar ∠B2;

c. besar ∠D.

Jawab:

Dengan menggunakan konsep jumlah sudut-sudut segitiga maka ∠ACB dapat dicari yakni:

 ∠ACB + ∠ABC + ∠BAC = 180°

∠ACB + 60° + 70° = 180°

∠ACB = 180°- 60° - 70°

∠ACB = 50°

a. besar ∠C3 + ∠C4 = ∠ACE, ∠ACB dengan ∠ACE merupakan sudut berpelurus, maka:

∠ACB + ∠ACE = 180°

50° + ∠ACE = 180°

∠ACE = 180° - 50°

∠ACE = 130°

Jadi besar ∠C3 + ∠C4 =130°

b. Karena ∠B1 = ∠B2 dan ∠B = 60° maka

∠B1 + ∠B2 = 60°

∠B2 + ∠B2 = 60°

2∠B2 = 60°

∠B2 = 30°

c. ∠C3 + ∠C4 =130°, karena ∠C3 = ∠C4 maka

 ∠C3 + ∠C3 =130°

2∠C3 = 130°

∠C3 = 65°

besar ∠D = ∠BDC dapat dicari dengan konsep jumlah sudut-sudut segitiga yaitu:

∠BDC + ∠CBD + ∠ACB + ∠ACD = 180°

∠BDC + ∠CBD + ∠ACB + ∠C3 = 180°

∠BDC + 50° + 30 + 65° = 180°

∠BDC = 180°- 50° - 30 - 65°

∠BDC = 35°

Jadi besar ∠D = ∠BDC = 35°