Contoh Soal dan Pembahasan Hubungan Panjang Sisi Dengan Besar Sudut Pada Segitiga

Contoh Soal dan Pembahasan Hubungan Panjang Sisi Dengan Besar Sudut Pada Segitiga

Contoh soal dan pembahasan materi matematika smp kelas 7 semester 2 tentang hubungan panjang sisi dengan besar sudut pada segitiga.

Soal 1.

Diketahui sudut suatu segitiga PQR berbanding ∠ P :∠ Q : ∠ R = 9 : 5 : 4.

Tentukan

a. besar ∠P, ∠Q, dan ∠R;

b. sudut yang terbesar;

c. sudut yang terkecil;

d. sisi yang terpanjang;

e. sisi yang terpendek.

f. Jenis segitiga PQR

Jawab:

a. Untuk mencari besar ∠P, ∠Q, dan ∠R dapat dicari dengan cara berikut. Misal ∠ P : ∠ Q : ∠ R = 9x : 5x : 4x, maka

∠ P : ∠ Q : ∠ R = 180°

9x : 5x : 4x = 180°

18x = 180°

x = 10°

setelah ketemu x maka besarnya sudut:

∠ P = 9x = 9.10°= 90°

∠ Q = 5x = 5. 10° = 50°

∠ R = 4x = 4. 10° = 40°

Jadi besar ∠P, ∠Q, dan ∠R berturut-turut adalah 90°, 50° dan 40°

b. sudut yang terbesar adalah ∠ P

c. sudut yang terkecil adalah ∠ R

d. Berdasarkan sifat-sifat segitiga maka sisi yang terpanjang adalah sisi yang berhadapan dengan sudut terbesar, maka sisi yang terpanjang berada pada sisi p

e. Berdasarkan sifat-sifat segitiga maka sisi yang terpendek adalah sisi yang berhadapan dengan sudut terkecil, maka sisi yang terpendek berada pada sisi r

f. Karena salah satu sudutnya adalah 90° maka jenis segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.

Soal 2.

Perhatikan gambar di bawah ini.

Tentukan nilai w°, x°, y°, dan z°.

Jawab:

Sudut w° dengan sudut 85° merupakan sudut berpelurus, maka:

w° + 85° = 180°

w° = 180° - 85°

w° = 95°

Besar sudut x° dapat dicari dengan menggunakan konsep jumlah sudut-sudut segitiga yaitu

85° + 35° + x° = 180°

x° = 180° - 85° - 35°

x° = 60°

Sudut y° dengan sudut x° merupakan sudut berpelurus, maka:

y° + x° = 180°

y° + 60° = 180°

y° = 180° - 60°

y° = 120°

Sudut z° dengan sudut 35° merupakan sudut berpelurus, maka:

z° + 35° = 180°

y° = 180° - 35°

y° = 145°

Jadi nilai w°, x°, y°, dan z° berturut-turut adalah 95°, 60°, 120° dan 145°

Soal 3.

Perhatikan gambar di bawah ini.

Hitunglah

a. nilai x°;

b. besar ∠SPR;

c. besar ∠PRQ.

Jawab

a. ∠SPR dengan ∠QPR merupakan sudut berpelurus, maka:

3x° + x° = 180°

4x° = 180°

x° = 45°

b. besar ∠SPR = 3x° = 3. 45° = 135°

c. Besar ∠PRQ dapat dicari dengan menggunakan konsep jumlah sudut-sudut segitiga yaitu:

∠QPR  + ∠PQR + ∠PQR = 180°

x°  + 80° + ∠PQR = 180°

45°  + 80° + ∠PQR = 180°

∠PQR = 180° - 45°  - 80°

∠PQR = 65°

Soal 4.

Perhatikan gambar berikut.

Pada gambar tersebut ∠B1 = ∠B2, ∠C3 = ∠C4, ∠A = 70°, dan ∠B = 60°. Hitunglah

a. besar ∠C3 + ∠C4;

b. besar ∠B2;

c. besar ∠D.

Jawab:

Dengan menggunakan konsep jumlah sudut-sudut segitiga maka ∠ACB dapat dicari yakni:

 ∠ACB + ∠ABC + ∠BAC = 180°

∠ACB + 60° + 70° = 180°

∠ACB = 180°- 60° - 70°

∠ACB = 50°

a. besar ∠C3 + ∠C4 = ∠ACE, ∠ACB dengan ∠ACE merupakan sudut berpelurus, maka:

∠ACB + ∠ACE = 180°

50° + ∠ACE = 180°

∠ACE = 180° - 50°

∠ACE = 130°

Jadi besar ∠C3 + ∠C4 =130°

b. Karena ∠B1 = ∠B2 dan ∠B = 60° maka

∠B1 + ∠B2 = 60°

∠B2 + ∠B2 = 60°

2∠B2 = 60°

∠B2 = 30°

c. ∠C3 + ∠C4 =130°, karena ∠C3 = ∠C4 maka

 ∠C3 + ∠C3 =130°

2∠C3 = 130°

∠C3 = 65°

besar ∠D = ∠BDC dapat dicari dengan konsep jumlah sudut-sudut segitiga yaitu:

∠BDC + ∠CBD + ∠ACB + ∠ACD = 180°

∠BDC + ∠CBD + ∠ACB + ∠C3 = 180°

∠BDC + 50° + 30 + 65° = 180°

∠BDC = 180°- 50° - 30 - 65°

∠BDC = 35°

Jadi besar ∠D = ∠BDC = 35°

Contoh Soal dan Pembahasan Keliling dan luas Trapesium

Contoh Soal dan Pembahasan Keliling dan luas Trapesium

Sebelum Anda mempelajari soal berikut ini, alangkah baiknya anda mempelajari terlebih dahulu materi luas dan keliling trapesium. Pelajari cara mencari rumus keliling dan luas trapesium agar tidak terjadi miskonsepsi nantinya. Kalau sudah mempelajari teorinya berikut Ling Lyng Online berikan contoh soal dengan pembahasannya tentang cara mencari keliling dan luas trapesium.

Soal 1

Tentukan luas dari masing-masing trapesium pada gambar berikut.

Penyelesaian:

a. Perhatikan gambar (i) seperti gambar di bawah ini.

Dari gambar tersebut diketahui: AD = CE = 6 cm dan AB = CD = 10 cm. Untuk mencari luas bangun trapesium (i) terlebih dahulu harus mencari panjang BC, panjang BC akan didapat jika panjang DE diketahui. Untuk mencari panjang DE kita gunakan rumus phytagoras, yaitu:

DE = √(CD² – CE²)

DE = √(10² – 6²)

DE = √(100 – 36)

DE = √64

DE = 8 cm

karena bangun trapesium (i) merupakan trapesium sama kaki, maka:

BC = AD + 2 x DE

BC = 6 cm + 2 x 8 cm

BC = 22 cm

Untuk mencari luas trapseium (i) kita gunakan rumus luas trapesium yaitu:

Luas = ½ x (AD + BC) x t

Luas = ½ x (6 cm + 22 cm) x 8 cm

Luas = 112 cm²

b. Perhatikan gambar (ii) seperti di bawah ini.

Dari gambar tersebut diketahui: BC = CD = 8 cm, AD = 10 cm dan EB = 14 cm. Untuk mencari luas bangun trapesium (ii) terlebih dahulu harus mencari panjang AE. Untuk mencari panjang AE kita gunakan rumus phytagoras, yaitu:

AE = √(AD² – CD²)

AE = √(10² – 8²)

AE = √(100 – 64)

AE = √36

AE = 6 cm

Setelah didapat panjang AE, maka panjang AB:

AB = AE + EB

AB = 6 cm + 14 cm

AB = 20 cm

Untuk mencari luas trapseium (ii) kita gunakan rumus luas trapesium yaitu:

Luas = ½ x (CD + AB) x t

Luas = ½ x (8 cm + 20 cm) x 8 cm

Luas = 112 cm²

c. Perhatikan gambar (iii) seperti di bawah ini.

Dari gambar tersebut diketahui: BF = 8 cm, AD = CD = 5 cm dan ED = 3 cm. Untuk mencari luas bangun trapesium (iii) terlebih dahulu harus mencari tinggi AE dan panjang AF. Untuk mencari tinggi AE kita gunakan rumus phytagoras, yaitu:

AE = √(AD² – DE²)

AE = √(5² – 3²)

AE = √(25 – 9)

AE = √16

AE = 4 cm

AB = CD + DE + FB

AB = 5 cm + 3 cm + 8 cm

AB = 16 cm

Untuk mencari luas trapseium (i) kita gunakan rumus luas trapesium yaitu:

Luas = ½ x (CD + AB) x t

Luas = ½ x (16 cm + 5 cm) x 4 cm

Luas = 42 cm²

d. Perhatikan gambar (iv) seperti di bawah ini.

Untuk mencari luas trapseium (iv) kita gunakan rumus luas trapesium yaitu:

Luas = ½ x (CB + AD) x AE

Luas = ½ x (9 cm + 4 cm) x 12 cm

Luas = 78 cm²

Soal 2

Perbandingan panjang sisi sejajar pada sebuah trapesium sama kaki adalah 1 : 4. Diketahui besar sudut pada salah kaki trapesium adalah 60°, panjang kaki trapesium = 10 cm, tinggi = 8 cm, dan luasnya 80 cm². Tentukan

a. besar sudut yang belum diketahui;

b. panjang sisi-sisi yang sejajar;

c. keliling trapesium.

Penyelesaian:

Berdasarkan soal no 2 jika digambarkan akan terlihat seperti gambar berikut.

a. Berdasarkan gambar di atas kita akan mencari sudut-sudut yang belum diketahui

∠CBF = ∠DAE = 60°

∠ADE = ∠BCF = 180° - ∠DAE - 90°

∠ADE = ∠BCF = 180° - 60° - 90°

∠ADE = ∠BCF = 30°

∠ADC = ∠BCF = 90° + ∠ADE

∠ADC = ∠BCF = 90° + 30°

∠ADC = ∠BCF = 120°

b. Untuk mencari panjang sisi-sisi yang yang sejajar dapat digunakan rumus luas segitiga dan persegi panjang, tetapi sebelum itu kita harus mencari panjang AE dengan rumus phytagoras:

AE = √(AD² – DE²)

AE = √(10² – 8²)

AE = √(100 – 64)

AE = √36

AE =6 cm

Luas total = 2 x Luas ΔADE + Luas CDEF

Luas CDEF = Luas total - 2 x Luas ΔADE

Luas CDEF = 80 cm²- 2 x ½ x AE x DE

Luas CDEF = 80 cm²- 2 x ½ x 6 cm x 8 cm

Luas CDEF = 80 cm²- 48 cm²

Luas CDEF = 32 cm²

sekarang akan cari panjang EF = CD yaitu

Luas CDEF = CD x DE

32 cm² = DC x 8 cm

CD = 4 cm

Panjang AB = AE + EF + BF

Panjang AB = 6 cm+ 4 cm + 6 cm

Panjang AB = 16 cm

c. Keliling trapesium dapat dicari dengan menjumlahkan seluruh sisi trapesium tersebut.

Keliling = 2 x AD + AB + CD

Keliling = 2 x 10 cm + 16 cm + 4 cm

Keliling = 40 cm

Soal 3

Perhatikan gambar berikut.

Pada gambar di atas diketahui trapesium PQRS sama kaki dengan PS = QR, PQ = 48 cm, SR = 26 cm, dan∠SPM = ∠RQN = 45°. Tentukan

a. besar ∠MSP dan ∠RNQ,

b. panjang MN,

c. panjang PM, QN, dan t,

d. luas PQRS.

Penyelesaian:

a. besar ∠MSP dan ∠RNQ adalah:

∠MSP = 180° - ∠PMS - ∠MPS

∠MSP = 180° - 90° - 45°

∠MSP = 45°

∠RNQ = ∠PMS = 90°

Jadi besar ∠MSP dan ∠RNQ adalah 45° dan 90°

b. panjang MN = SR = 26 cm

c. panjang PM, QN, dan t, adalah sebagai berikut.

PM = QN

PM = PQ – MN – QN

PM = 48 cm – 26 cm –PM

2PM = 22 cm

PM = 22 cm/2

PM = QN = t = 11 cm

d. Luas trapsesium PQRS adalah:

luas PQRS = ½ x (PQ+SR) x t

luas PQRS = ½ x (48 cm + 26 cm) x 11 cm

luas PQRS = 407 cm²

Soal 4

Sebuah trapesium, panjang sisi-sisi sejajar adalah 12 cm dan 8 cm serta tinggi 5 cm. Hitunglah luas trapesium tersebut.

Penyelesaian:

Luas = ½ x (a1 + a2) x t

Luas = ½ x (12 cm + 8 cm) x 5 cm

Luas = 50 cm²

Soal 5

Diketahui trapesium ABCD, lihat gambar di bawah ini, CD = 8 cm,  Tinggi = 10 cm, dan BC = 12 cm.  Hitunglah luas trapesium ABCD.

Penyelesaian:

Dari gambar tersebut kita dapatkan bahwa AD = CD, DE=CF dan AE = BF. Untuk mencari luas trapesium tersebut terlebih dahulu cari panjang AB, tetapi sebelum mencari panjang AB kita akan mencari panjang AE dengan rumus Phytagoras yaitu:

AE = √(AD² – DE²)

AE = √(12² – 10²)

AE = √(144 – 100)

AE = √44

AE =6,6 cm

maka panjang AB adalah

AB = 2AE + EF

AB = 2 x 6,6 cm + 8 cm

AB = 21,2cm

Luas ABCD = ½ x (AB + CD) x t

Luas ABCD = ½ x (21,2 cm + 8 cm) x 10 cm

Luas ABCD = 146 cm²

Soal 6

Pada trapesium ABCD di bawah diketahui bahwa, AD = BC. Sudut A = 45°, panjang AB = 18 cm, dan CD = 10 cm. Tentukanlah tinggi dan luas trapesium.

Penyelesaian:

Perhatikan gambar di atas, ΔADE merupakan segitiga siku-siku sama kaki (segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya 45°), maka akan didapatkan AE = DE. Dalam hal ini AE = BF dan EF = CD, maka panjang AE dapat dicari:

AB =  AE + EF + BF

AE = AB – EF – BF

AE = 18 cm – 10 cm – AE

2AE = 8 cm

AE = 4 cm

AE = DE = 4 cm

Luas ABCD = ½ x (AB+CD) x DE

Luas ABCD = ½ x (18 cm +10 cm) x 4 cm

Luas ABCD = 56 cm²

Keliling Dan Luas Segitiga

Keliling Dan Luas Segitiga

Keliling Segitiga

Keliling suatu bangun datar merupakan jumlah dari panjang sisi-sisi yang membatasinya, sehingga untuk menghitung keliling dari sebuah segitiga dapat ditentukan dengan menjumlahkan panjang dari setiap sisi segitiga tersebut.

Keliling Δ ABC = AB + BC + AC

Keliling Δ ABC = c + a + b

Jadi, keliling Δ ABC adalah a + b + c.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Suatu segitiga dengan panjang sisi a, b, dan c, kelilingnya adalah:

K = a + b + c.

Luas Segitiga

Perhatikan Gambar di atas. Dalam menentukan luas Δ ABC di atas, dapat dilakukan dengan membuat garis bantuan sehingga terbentuk persegi panjang ABFE seperti Gambar di bawah ini. Dapatkah Anda membuktikan bahwa AC dan BC membagi persegi panjang ADCE dan BDCF menjadi dua sama besar?

Jika Anda dapat membuktikannya, kalian akan memperoleh bahwa Δ ADC sama dan sebangun dengan Δ AEC dan Δ BDC sama dan sebangun denganΔ BCF, sedemikian sehingga diperoleh:

luas Δ ADC = ½ x luas persegi panjang ADCE dan luas

luas Δ ADC = ½ x luas persegi panjang BDCF

luas Δ ADC = luas Δ ADC + luas Δ BDC

luas Δ ADC = ½ x luas ADC + ½ x luas Δ BDC

luas Δ ADC = ½ x AD x CD + ½ x BD x CD

luas Δ ADC = ½ CD x (AD + CD)

luas Δ ADC = ½ CD x AB

Secara umum luas segitiga dengan panjang alas a dan tinggi t adalah:

L = ½ alas x tinggi

L = ½ a x t

Contoh Soal

Pada Δ DEF di atas diketahui DE = 14 cm, DF = 21 cm, EG = 5 cm,

dan FG = 12 cm. Hitunglah keliling dan luas Δ DEF.

Penyelesaian:

EF² = EG² + FG²

EF² = 5² + 12²

EF² = 25 + 144 = 169

EF = 13 cm

Keliling Δ DEF = DE + EF + DF

Keliling Δ DEF = 14 cm + 13 cm + 21 cm

Keliling Δ DEF = 48 cm

Luas DEF = 1/2 × DE × FG

Luas DEF = 1/2 × 14 × 12 = 84 cm